Sacar factor común
Consiste en aplicar la
propiedad distributiva:
a · b + a · c + a · d = a (b +
c + d)
Ejemplos
Descomponer en factores
sacando factor común y hallar las raíces
1. x3 +
x2 = x2 (x
+ 1)
La raíces son: x = 0 y x = −1
2. 2x4 +
4x2 = 2x2 (x2 +
2)
Sólo tiene una raíz x = 0; ya
que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule;
debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por
tanto es irreducible.
3. x2 −
ax − bx + ab = x (x − a)
− b (x − a) = (x − a) · (x − b)
La raíces son x = a y x = b.
Diferencia de
cuadrados
Una diferencia de cuadrados es
igual a suma por diferencia.
a2 − b2 =
(a + b) · (a − b)
Ejemplos
Descomponer en factores y
hallar las raíces
1. x2 −
4 = (x + 2) · (x − 2)
Las raíces
son x = −2 y x = 2
2. x4 −
16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x2 +
4)
Las raíces
son x = −2 y x = 2
Trinomio
cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto
es igual a un binomio al cuadrado.
a2 ± 2 a b + b2 =
(a ± b)2
Ejemplos
Descomponer
en factores y hallar las raíces
1.
La raíz es x = −3, y se dice que
es una raíz doble.
2.
La raíz es x = 2.
Trinomio de
segundo grado
Para descomponer en factores
el trinomio de segundo grado P(x) = ax2 + bx + c , se iguala a
cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son
x1 y x2, el polinomio descompuesto será:
ax2 + bx + c = a · (x − x1) · (x −
x2)
Ejemplos
Descomponer en factores y
hallar las raíces
1.
Trinomios de
cuarto grado de exponentes pares
Ejemplos
1. x4 −
10x2 + 9
x2 =
t
x4 −
10x2 + 9 = 0
t2 −
10t + 9 = 0
x4 −
10x2 + 9 = (x
+ 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
2. x4 −
2x2 − 3
x2 =
t
t2 −
2t − 3 = 0
Factorización de
un polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del
resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.
Los pasos a seguir los veremos
con el polinomio:
P(x) = 2x4 + x3 −
8x2 − x + 6
1Tomamos los
divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2Aplicando el teorema
del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 14 +
13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3Dividimos
por Ruffini.
4Por ser la
división exacta, D = d · c
(x − 1) · (2x3 +
3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las
mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque
el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 +
3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (−1)3 +
3 · (−1)2 − 5 · (−1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x + 1) · (2x2 +x
−6)
Otra raíz es x = −1.
El tercer factor lo podemos
encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,
aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces
enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos
probando por −1.
P(−1) = 2 · (−1)2 +
(−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 +
2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2)2 +
(−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) ·
(2x − 3)
Sacamos factor común 2
en último binomio y encontramos una raíz racional.
2x − 3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del
polinomio queda:
P(x)
= 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x
−1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)
Las
raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
Raíces
racionales
Puede suceder que el polinomio
no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.
En este caso tomamos los
divisores del término independiente dividido entre los divisores del término
con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
P(x) = 12x3 +
8x2 − 3x− 2
Probamos por:
Sacamos factor común 12 en el tercer factor
